По тео­ре­ме ко­си­ну­сов имеем: К тому же

AC пе­ре­се­ка­ет BD в точке O, точка M  — се­ре­ди­на BS, тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC. За­ме­тим, что

По тео­ре­ме си­ну­сов:

Про­длим BD до точки P, BP  =  

Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка BMP  — ис­ко­мый. Тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

По тео­ре­ме си­ну­сов имеем: Таким об­ра­зом,

Ответ: 26.

Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на пер­вом ри­сун­ке: AD  =  a, AB  =  b, AA₁  =  c.

Рис. 1

Рис. 2

Со­глас­но усло­вию

Объем пи­ра­ми­ды равен где ос­но­ва­ние  — KNC₁B₁. Про­ве­дем вы­со­ту SE из точки S пи­ра­ми­ды SB₁KNC₁, как по­ка­за­но на вто­ром ри­сун­ке.

Про­ве­ден­ная вы­со­та па­рал­лель­на ребру DD₁, по­сколь­ку приз­ма пря­мая. За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки SEB₁ и DD₁B₁ по­доб­ны по двум углам, зна­чит, по­это­му

Изоб­ра­зим те­перь ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды. Вы­чис­лим его пло­щадь как раз­ность пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма и двух тре­уголь­ни­ков:

Рис. 3

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка для этого сде­ла­ем до­пол­ни­тель­ное по­стро­е­ние, про­ве­дя пря­мую па­рал­лель­ную B₁M до пе­ре­се­че­ния с про­дол­же­ни­ем сто­ро­ны A₁D₁ (см. рис. 3). По­лу­чив­ший­ся тре­уголь­ник D₁NF по­до­бен тре­уголь­ни­ку A₁B₁M по двум углам. По­это­му:

Рас­смот­рим тре­уголь­ник A₁NF. Имеем: и Со­от­вет­ствен­но, пло­щадь тре­уголь­ни­ка A₁NF равна

Тре­уголь­ни­ки A₁KM и A₁NF по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия:

От­сю­да пло­щадь тре­уголь­ни­ка A₁KM равна

Тогда пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды SB₁KNC₁ равна:

Окон­ча­тель­но имеем:

Ответ: 115.

Изоб­ра­зим дан­ную фи­гу­ру  — че­ты­рех­уголь­ную пи­ра­ми­ду с вер­ши­ной в точке S и с ос­но­ва­ни­ем ABCD. Из фор­му­лы пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма где a и b сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма, а   — угол между ними, сле­ду­ет, что угол а па­рал­ле­ло­грамм ABCD яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

За­ме­тим, что тре­уголь­ник SBC пря­мо­уголь­ный по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Чтобы найти ко­си­нус ли­ней­но­го угла дву­гран­но­го угла BSCD, вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой ко­си­ну­сов трех­гран­но­го угла. Возь­мем за угол BCD за плос­кий угол трех­гран­но­го угла. Тогда:

где   — ис­ко­мый ли­ней­ный угол.

Под­ста­вим зна­че­ния и най­дем ко­си­нус ли­ней­но­го угла:

Тогда зна­че­ние ис­ко­мо­го вы­ра­же­ния равно –3.

Ответ: –3.

Пусть SH  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Если S рав­но­уда­ле­на от сто­рон ABCD, то и точка H рав­но­уда­ле­на от сто­рон ABCD, сле­до­ва­тель­но, точка H  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти ABCD. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой где p  — по­лу­пе­ри­метр. На­хо­дим:

Тогда и сле­до­ва­тель­но,

С дру­гой сто­ро­ны

от­сю­да

Се­че­ние, про­ве­ден­ное через се­ре­ди­ну вы­со­ты, делит пи­ра­ми­ду на две части, одна из ко­то­рых  — пи­ра­ми­да, по­доб­ная ис­ход­ной с ко­эф­фи­ци­ен­том 1 : 2. По­это­му объем ча­стей со­став­ля­ет и от объ­е­ма ис­ход­ной пи­ра­ми­ды. Таким об­ра­зом,

Ответ: 1375.

За­ме­тим, что KN  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ASC, зна­чит, пря­мая KN па­рал­лель­на пря­мой SC, тогда по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мой и плос­ко­сти пря­мая KN па­рал­лель­на плос­ко­сти BSC. Зна­чит, утвер­жде­ние 1 яв­ля­ет­ся вер­ным, а утвер­жде­ние 6  — не­вер­ным.

Точки K и M лежат в плос­ко­сти ASB, зна­чит, и вся пря­мая KM лежит в этой плос­ко­сти. Зна­чит, утвер­жде­ние 4 яв­ля­ет­ся вер­ным. Пря­мая BC пе­ре­се­ка­ет плос­кость ASB в точке B, ко­то­рая не лежит на пря­мой KM. Тогда по при­зна­ку скре­щи­ва­ю­щих­ся пря­мых пря­мые KM и BC яв­ля­ют­ся скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся. Зна­чит, утвер­жде­ние 3 яв­ля­ет­ся не­вер­ным.

Точка N не лежит в плос­ко­сти BSC, а точка M лежит в этой плос­ко­сти. Зна­чит, пря­мая NМ пе­ре­се­ка­ет плос­кость ВSС в точке M, и утвер­жде­ние 2 яв­ля­ет­ся вер­ным. Пря­мая NM пе­ре­се­ка­ет плос­кость BSC в точке M, ко­то­рая не лежит на пря­мой BC. Тогда по при­зна­ку скре­щи­ва­ю­щих­ся пря­мых пря­мые NM и BC яв­ля­ют­ся скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся. Зна­чит, утвер­жде­ние 5 яв­ля­ет­ся не­вер­ным.

Ответ: 124.

Пусть точка M  — се­ре­ди­на ребра AB, точка N  — се­ре­ди­на ребра SB, MKPN  — се­ку­щая плос­кость. Пря­мая MK па­рал­лель­на ос­но­ва­нию BC тре­уголь­ни­ка ABC, сле­до­ва­тель­но, MK  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC, ее длина равна по­ло­ви­не длины ос­но­ва­ния и равна 3. От­ре­зок MN  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SBA, ее длина равна по­ло­ви­не длины ос­но­ва­ния SA и равна 4. От­ре­зок PN  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SCB, так как пря­мые PN и BC па­рал­лель­ны, а точка N  — се­ре­ди­на SB, таким об­ра­зом, PN  =  3. Две сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка MKPN па­рал­лель­ны и равны, сле­до­ва­тель­но, этот че­ты­рех­уголь­ник  — па­рал­ле­ло­грамм, ребро SA па­рал­лель­но ребру MN, тогда пря­мая MN пер­пен­ди­ку­ляр­на любой пря­мой в плос­ко­сти ABC, сле­до­ва­тель­но, MKPN  — пря­мо­уголь­ник. Пло­щадь MKPN равна 3 · 4  =  12, зна­че­ние вы­ра­же­ния 3 · S равно 36.

Ответ: 36.

Так как все бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды на­кло­не­ны к плос­ко­сти ее ос­но­ва­ния под одним углом, вер­ши­на пи­ра­ми­ды про­еци­ру­ет­ся в центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в ромб, ле­жа­щий в ос­но­ва­нии, цен­тром окруж­но­сти яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ромба. Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в ромб. Пусть ост­рый угол ромба равен β. От­ре­зок BM равен 2r, AB  =  8. Най­дем Имеем:

Тогда:

от­ку­да Тан­генс угла α равен от­но­ше­нию вы­со­ты пи­ра­ми­ды к ра­ди­у­су окруж­но­сти, впи­сан­ной в ромб. Имеем:

Най­дем зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ответ: 72.

Пусть точка M  — се­ре­ди­на AB, точка N  — се­ре­ди­на SA, MNLK  — се­ку­щая плос­кость. Пря­мая MK па­рал­лель­на ребру AC и яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей тре­уголь­ни­ка ABC, сле­до­ва­тель­но, K  — се­ре­ди­на BC. Длина сред­ней линии тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не длины ос­но­ва­ния, тогда MK  =  16. Точки N и M  — се­ре­ди­ны ребер SA и AB, зна­чит, NM  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SAB, ее длина равна по­ло­ви­не длины ос­но­ва­ния и равна 1. Пря­мые NL и AC па­рал­лель­ны, тогда NL  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SAC, ее длина равна по­ло­ви­не длины ос­но­ва­ния и равна 16. Две сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка MNLK па­рал­лель­ны и равны, сле­до­ва­тель­но, этот че­ты­рех­уголь­ник  — па­рал­ле­ло­грамм. Пря­мая MN, па­рал­лель­ная пря­мой SB, пер­пен­ди­ку­ляр­на любой пря­мой, со­дер­жа­щей­ся в плос­ко­сти ABC, сле­до­ва­тель­но, MNLK  — пря­мо­уголь­ник. Его пло­щадь равна 16 · 1  =  16. Зна­че­ние вы­ра­же­ния 5 · S равно 80.

Ответ: 80.